rastgele süreçler ne demek?

Rastgele Süreçler

Rastgele süreçler (veya stokastik süreçler), zaman içinde rastgele değişkenlerin evrimini tanımlayan matematiksel modellerdir. Basitçe ifade etmek gerekirse, bir rastgele süreç, zamanla değişen ve sonuçları öngörülemeyen olayların bir dizisidir. Bu süreçler, olasılık teorisi ile tanımlanır ve gelecekteki değerlerin tam olarak tahmin edilememesi esasına dayanır.

Temel Kavramlar:

• Rastgele Değişken (https://www.nedemek.page/kavramlar/rastgele%20değişken): Her sonucu sayısal bir değer olan ve olasılık dağılımı ile tanımlanan değişkendir. Rastgele süreçlerde, her zaman noktasında bir rastgele değişken bulunur.

• İndeks Kümesi (Zaman): Rastgele sürecin evrimleştiği zaman aralığını temsil eder. Bu, kesikli (örneğin, tamsayılar) veya sürekli (örneğin, reel sayılar) olabilir.

• Durum Uzayı: Rastgele değişkenlerin alabileceği tüm olası değerlerin kümesidir.

• Olasılık Dağılımı: Rastgele değişkenlerin belirli bir zamanda hangi değerleri alabileceğini ve bu değerlerin olasılıklarını tanımlar. Bir rastgele sürecin gelecekteki davranışını anlamak için önemlidir.

Rastgele Süreçlerin Özellikleri:

• Markov Özelliği (https://www.nedemek.page/kavramlar/markov%20özelliği): Gelecekteki durumun sadece mevcut duruma bağlı olduğu ve geçmiş durumlardan bağımsız olduğu anlamına gelir. Her rastgele süreçte bulunması şart değildir.

• Durağanlık (Stationarity): Sürecin istatistiksel özelliklerinin zaman içinde değişmediği anlamına gelir. Yani, süreçteki herhangi bir zaman noktasında gözlemlenen dağılım, başka bir zaman noktasında gözlemlenen dağılımla aynıdır.

• Ergodiklik: Zaman ortalamalarının ensemble (topluluk) ortalamalarına eşit olduğu varsayımıdır. Bu, tek bir uzun süreli gözlemin sürecin tüm olası davranışlarını temsil edebileceği anlamına gelir.

Rastgele Süreç Türleri:

• Markov Zincirleri (https://www.nedemek.page/kavramlar/markov%20zinciri): Kesikli zamanlı ve ayrık durum uzayına sahip rastgele süreçlerdir.

• Poisson Süreçleri (https://www.nedemek.page/kavramlar/poisson%20süreci): Belirli bir zaman aralığında meydana gelen olayların sayısını modellemek için kullanılır.

• Brown Hareketi (https://www.nedemek.page/kavramlar/brown%20hareketi): Sürekli zamanlı ve sürekli durum uzayına sahip, fiziksel parçacıkların rastgele hareketini tanımlayan bir süreçtir.

• Gauss Süreçleri: Herhangi bir sonlu sayıda zaman noktasındaki rastgele değişkenlerin birleşimi çok değişkenli Gauss dağılımına sahip olan süreçlerdir.

Rastgele Süreçlerin Uygulama Alanları:

Rastgele süreçler, finans, fizik, biyoloji, mühendislik, bilgisayar bilimi ve daha birçok alanda geniş bir uygulama yelpazesine sahiptir. Örneğin:

• Finans: Hisse senedi fiyatlarının modellenmesi, risk yönetimi.

• Fizik: Brown hareketi, termodinamik sistemlerin modellenmesi.

• Biyoloji: Popülasyon dinamikleri, genetik süreçlerin modellenmesi.

• Mühendislik: İletişim sistemleri, sinyal işleme.

• Bilgisayar Bilimi: Makine öğrenimi algoritmaları, kuyruk teorisi.

Rastgele süreçler, karmaşık sistemlerin davranışını anlamak ve modellemek için güçlü bir araçtır. Olasılık teorisi ve istatistiksel yöntemler kullanılarak, bu süreçlerin analizi, tahmin ve kontrolü yapılabilir.